Studier i et badekar

Turbulens

Hvordan beskriver man en væske matematisk? Det er relativt let at skrive ligningen ned, men det er straks sværere at løse dem. Ligesom væsken selv, har løsningerne og ligningen det med at glide ud mellem fingrene på én. Ligningerne hedder »Navier-Stokes ligningerne«, og har været kendt i 150 år. »Det er en fænomenologisk ligning, som giver en makroskopisk beskrivelse af alle bevægelser væske«, siger Tomas Bohr, der kender Navier-Stokes ligningerne fra både teoretiske og praktiske studier. Tomas Bohr, der er barnebarn af Niels Bohr, blev doktor på Niels Bohr Institutet i 1996 på en afhandling om »Turbulent Dynamical Systems«. Han har de sidste 13 år beskæftiget sig med forskellige aspekter af turbulensfænomener og væskestrømninger og er nu professor ved Fysisk Institut på Danmarks Tekniske Universitet, hvor hans to fætre Henrik og Jakob Bohr i øvrigt også forsker.

Kilde: Nature Vol. 392, 23 april 1998.

Hydrauliske spring Tomas Bohr har blandt flere strømningsfænomener arbejdet med de såkaldte »hydrauliske spring« som for eksempel kan studeres i bunden af en køkkenvask: Når vandstrålen rammer bunden af vasken dannes en cirka ti centimeter stor cirkel med lavt vand omkring vandstrålen, men så springer vandet pludselig omkrig en centimeter op og strømmer derefter væk i et tykkere lag. I overgangen dannes små 'rollere', hvor vandet strømmer baglæns. I dette forsøg er ændringen af den frie overflade meget voldsom og derfor vanskelig at beskrive. Tomas Bohr er netop ved at lægge sidste hånd på en over 40 sider lang teoretisk artikel med en 'semi-analytisk' løsning af problemet sammen med kolleger fra Japan og USA. Tomas Bohr sætter meget pris på samarbejdet med kolleger og studerende - både på DTU og på hans gamle arbejdsplads, Niels Bohr Instituttet. »Noget af det bedste ved at være fysiker er at man har så rig lejlighed til at samarbejde med en masse spændende mennesker. Det er en stor berigelse,« siger han. For et par aar siden fandt han og hans medarbejdere paa Niels Bohr Institutet ud af, atdisse hydrauliske spring kan danne smukke, stationaere polygoner, hvilke vakte stor forundring ude i verden.

Hvirvler i et badekar På det seneste har Tomas Bohr kastet sig over hvirvler i vand, lige som dem, der strømmer ud af et badekar. En lille cylinder, næsten fuld af vand, roterer inde i en større, fast cylinder. Væsken kan strømme ud af et lille hul i bunden af den lille cylinder og sive ind fra den store cylinder så strømningen kan blive stationær. I midten af den frie overflade i den roterende cylinder opstår en fordybning, altså en hvirvel, af form som en tragt. »Der er ingen, der ved præcis, hvordan strømningen er og hvilken matematisk form, den frie overflade har. Det er jo egentlig forbavsende, når man tænker på, hvor udbredt denne strømning er,« siger Tomas Bohr. Forsøget er lavet i samarbejde med Anders Andersen, som er Ph.D.-studerende, samt af tre 'fagpakkestuderende'. For nylig er også en dansk sommerstuderende fra Oxford Universitet kommet med i projektet. Billedet til højre viser et eksempel på en hvirvel i Tomas Bohrs forsøg. Der er blandet rød frugtfarve i for at studere strømningen i detaljer. Foto: MCA.

Leonhard Euler (1707-1783) Georges Stokes (1819-1903)

Fra 1800-tallet Navier-Stokes ligningen er stadig kun udforsket i små hjørner. Men allerede i 1755 opstillede Leonhard Euler ligningen for en usammentrykkelig væske uden gnidning. »Eulers ligning udtrykker impulsbevarelse gennem Newtons bevaegelseslov anvendt paa hver lille væskedel. Det svære problem, som Euler løste var, hvordan man beskriver kræfterne på et lille væskeelement i bevægelse,« forklarer Tomas Bohr. Claude Navier opstillede i 1821 en ligning for vibrationerne i et elastisk legeme, et resultat, som senere blev udvidet af flere matematikere. Den irske matematiker Georges Stokes foretog systematiske studier af væskebevægelser, og det lykkedes ham at generalisere Euler-ligningerne til også at omfatte gnidning eller »viskositet« som det også kaldes. »Grunden til, at ligningen er så svære at løse,« siger Tomas Bohr, »er Eulers ulineære konvektive led i ligningen, der skyldes at kræfterne på en væskedel, som bestemmer dens acceleration, ikke blot afhænger af omgivelserne gennem trykket, men også af strømningens størrelse og dens rumlige variation.« Men Navier-Stokes ligningen indeholder også viskositeten, som udtrykker en væskes sejhed. Sirup er et godt eksempel på en væske med høj viskositet. En væske med lav viskositet, som vand, flyder let og får nemt hvirvler. Turbulens finder man ved kraftige strømninger specielt uden om forhindringer. Derfor er turbulensforskning af stor betydning for for eksempel udviklingen af bedre vinger til fly. Et teoretisk problem... Et af »Clay prize« problemerne (som blev omtalt i Information i sidste uge) går ud på at bevise, at Navier-Stokes ligningerne har såkaldt glatte eller kontinuerte løsninger. Til dette problem siger Tomas Bohr: »Det er et ret teoretisk spørgsmål, som kun få fysikere arbejder på. Der kunne være to grunde til singulariteter. Den første er, at ligningerne i sig selv er 'syge' og giver anledning til uendeligheder, som ikke giver fysisk mening. Det er måske tilfældet for Euler ligningen, men naar viskositeten tages med, ser det ud til at glatte stroemningerne ud.« »Den anden grund er stoffernes atomare struktur,« påpeger Tomas Bohr. »Navier-Stokes ligningen beskriver en væske som et 'kontinuum', mens den i virkeligheden består af en mængde små molekyler, som farer rundt i vild forvirring. Men molekylerne er ufatteligt små - der findes 1022 molekyler i en lille væskedel på cirka én kubikcentimeter - og det betyder, at beskrivelsen af en væske som et kontinuum er utrolig god på alle menneskelige skalaer.«

Praktiske anvendelser
I de senere år har der været stor interesse for granulære systemer som sand, korn, mel og medicinalpulvere. Her er kornstørrelsen med til at bestemme strømningen, og det er endnu uklart, om der findes en brugbar kontinuumsbeskrivelse á là Navier-Stokes. Tomas Bohr giver et eksempel fra industrien: »I en beholder fyldt med en væske forplanter trykket sig ned gennem væsken, og det er bunden af beholderen som skal bære det hele. Omvendt i en kornsilo: Her er det siderne som bærer det hele, fordi trykket forgrener sig tilfældigt fra korn til korn ud mod kanten, som derved kommer til at bære et meget stort og meget variabelt tryk. Det har forårsaget alvorlige ulykker, fordi siderne i kornsiloerne ikke har været kraftige nok.« slutter Tomas Bohr.

Tomas Bohr har en hjemmeside, som han selv kalder 'lidt rudimentær':